放送大学学習のメモ

本日20時より、放送大学で特別授業「ウェーブレットと錯視」が放送されます。数学に興味のある人はもちろんですが、コンピュータに興味のある人にも向いていると思われます。といいつつ、私はウェーブレットに関してはあまり知識が無いのですが。

（8月8日に再放送があるので、見逃した方はそちらを）

新井仁之さんのサイト

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2006-05-21

ベイズの定理 [雑記]

「確率・統計の基礎」の印刷教材20ページにある例題1.1をたいした計算もせずに説明したいと思います。必要な数学（算数）のレベルは、分数の掛け算と割り算ができることです。

AとBの二つの袋の中に赤と白の玉が5ずつ入っています。Aには赤が4個、白が1個。Bには赤が2個、白が3個。AとBを二分の一ずつの確率で選び、一つだけ玉を取り出します。これが赤であったら、選んだ袋がAであった確率はいくらかという問題です。

あらかじめ言っておきますが、厳密性は捨てているので、表現がよくないと思いますが、その辺はご容赦してください。

まずは視覚化して見てみましょう。

AとBは二分の一ずつなので、上のツリーの頭にその確率を加えてみます。

ここまで来れば答えが出たようなものです。赤を選ぶ確率は、4/10と2/10を加えた6/10です。一番右の上から一つ目と三つ目を足すだけです。そのうち、Aであった割合はいくらでしょうか。Aは4/10だったので、4/10割る6/10です。こんな感じになります。

もちろん、通分すれば2/3になります。印刷教材を見てください。答えが同じです。深く考えなくても、図で示せば簡単な計算でベイズの定理の問題を解くことができました。放送大学に限らず、ベイズの定理の問題は出題されやすいので、マスターしておきましょう。

補足ですが、最初の段階ではAを選ぶ確率は1/2でした。しかし、赤を選んだ後では2/3になっています。「玉を一つ取り出したら赤であった」という情報が入る前と後では確率が違うということに注目してください。情報を得る前の確率を事前確率、情報を得た後の確率を事後確率と呼びます。

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2006-05-19

サイコロを2つ投げる問題 [雑記]

要望があったので、確率・統計の解法を載せたいと思います。そのままではなくて、簡単バージョンにしました。これでイメージをつかむことができたら、これよりも一段階難しい問題も解けるようになるはずです。
エレガントな解法をするつもりはありません。数学の初心者には、泥臭い解法のほうがわかりやすいと思ったからです。

【問題】
サイコロを2回投げます。1回目の目をX1、2回目の目をX2とします。
(1)X1＝X2となる確率を求めてください。
(2)X1＜X2となる確率を求めてください。

【解法】
世の中には四面体のサイコロや、二十面体のサイコロもありますが、問題で言っているサイコロは普段見慣れている六面体でしょうね。
こういった問題は難しく考えずに数えてしまうのが一番です。ブサイクなやり方ですが・・・。

ではサイコロを投げてみましょう。1回目は6通りの目が出ます。当たり前です。サイコロは1から6までしかないですから。次に2回目ですが、これも6通りです。

1回目と2回目の出た目を(1回目,2回目)という風に書いてみましょう。

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

合計で36通りです。

では(1)を求めてみましょう。X1=X2となる確率ですが、1回目と2回目が同じ目になる回数は何回かわかればいいというだけのことです。つまり、(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)の6通りです。これだけのことです。
確率は6/36=1/6となります。

次に(2)ですが、これも数えてしまえばいいだけです。
X1＜X2と書くと難しい感じも受けますが、2回目のサイコロの目が1回目よりも大きい回数を求めるだけの話です。ちょっとややこしそうですが、とりあえず書いてみましょう。

・1回目に1が出たケース

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)の5通りです。

・1回目に2が出たケース

(2,3) (2,4) (2,5) (2,6)の4通りです。

・1回目に3が出たケース

(3,4) (3,5) (3,6)の3通りです。

・1回目に4が出たケース

(4,5) (4,6)の2通りです。

・1回目に5が出たケース

(5,6)の1通りしかありません。

・1回目に6が出たケース

サイコロの目は6までしかないので、2回目に6よりも大きな数が出ることはありえません。つまり0回です。

X1＜X2になるケースをすべて足すと15通りになります。これを36で割ると、X1＜X2の確率が求まります。計算は皆さん各自してみてくださいね。

【ポイント】

この類の問題は、単位認定試験で一問出題されるようです。出題されるのはサイコロが3つのケースや、もう少し条件の異なるケースですが、数えれば答えは出るので、焦らないで下さいね。

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2006-05-16

改訂版？ [雑記]

久しぶりの更新です。科目によっては多少古くなった情報もあるので、このサイトを改訂しようとは考えているんですが、なかなか時間がとれなくて・・・。。

数学に手こずっている人が多いようで、改訂版ではそれらを中心に書いてみようかなと考えています。内容としては、微分積分、線型代数、確率統計の3分野を中心にしてみようかと思っています。すべてをカバーするほどの時間は無いので、重要と思われる部分（試験に出やすいところ）だけをピックアップするといった感じで。

ただ、みなさんがどの辺で苦しんでいるのかわからないので、それらを教えてくれるとありがたいです。協力してくれる人は、こちらのページからメッセージを送ってください。メールアドレスは別に記入しなくて結構です。私からメールを送ることはありませんから、あっても無くても一緒なので。一応、名前（ハンドルネームで十分です）とメッセージだけ書いてくれれば良いです。

簡単なルールとして、単位認定試験の答えを教えてくださいというのは無しです。また、すべてのメッセージに対して記事を書くつもりは無いので、メッセージを送ったのに何で書かないんだというのも困ります。

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2006-05-13

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